Question

已知：在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点C，∠BGE=∠ADE．

（1）如图1，求证：AD=CD；

（2）如图2，BH是△ABE的中线，若AE=2DE，DE=EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍．

Answer

（1）证明见解析；（2）△ACD、△ABE、△BCE、△BHG．

【解析】（1）由AC⊥BD、BF⊥CD知∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，根据∠BGE=∠ADE=∠CGF得出∠DAE=∠GCF即可得；

（2）设DE=a，先得出AE=2DE=2a、EG=DE=a、AH=HE=a、CE=AE=2a，据此知S△ADC=2a2=2S△ADE，证△ADE≌△BGE得BE=AE=2a，再分别求出S△ABE、S△ACE、S△BHG，从而得出答案．

（1）∵∠BGE=∠ADE，∠BGE=∠CGF，

∴∠ADE=∠CGF，

∵AC⊥BD、BF⊥CD，

∴∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，

∴∠DAE=∠GCF，

∴AD=CD；

（2）设DE=a，

则AE=2DE=2a，EG=DE=a，

∴S△ADE=AE×DE=×2a×a=a2，

∵BH是△ABE的中线，

∴AH=HE=a，

∵AD=CD、AC⊥BD，

∴CE=AE=2a，

则S△ADC=AC•DE=•（2a+2a）•a=2a2=2S△ADE；

在△ADE和△BGE中，

∵，

∴△ADE≌△BGE（ASA），

∴BE=AE=2a，

∴S△ABE=AE•BE=•（2a）•2a=2a2，

S△ACE=CE•BE=•（2a）•2a=2a2，

S△BHG=HG•BE=•（a+a）•2a=2a2，

综上，面积等于△ADE面积的2倍的三角形有△ACD、△ABE、△BCE、△BHG．