如图，已知正方形ABCD，对角线AC、BD交于点O，点E在对角线BD上，连接AE...

如图，已知正方形ABCD，对角线AC、BD交于点O，点E在对角线BD上，连接AE．点G是AD延长线上一点，DF平分∠GDC，且DF=BE，连接FB、FC，FB与AC交于点M．

（1）若点E是BD的三等分点（DE＜BE），BF=，求△ABE的面积；

（2）求证：DE=2CM．

（1）18；（2）证明见解析. 【解析】（1）由点E是BD的三等分点，设BE＝DF=2x，DE=x. 在Rt△BDF中，根据勾股定理得BD²+DF²=BF²，即可求出的值，根据三角形的面积公式求解即可. （2）延长DF、BC交于点H.证明△EBA≌△FDC，根据全等三角形的性质得到AE=CF,∠AEB=∠CFD，再证明△AED≌△CFH，即可证明. 【解析】（1）由题意易得∠BDF=90°， ∵点E是BD的三等分点（DE＜BE） ∴设BE＝DF=2x，DE=x. 在Rt△BDF中，∠BDF=90° ∵BD²+DF²=BF² ∴9x²+4x²=156解得x= ∴BE=2x=,AO=BD= ∴△ABE面积=·BE·AO==18. （2）同时延长DF、BC交于点H. ∵O是BD中点，OC∥DF ∴M是BF中点，C是BH中点. ∴CM是△BFH的中位线. 即FH=2CM. 在△EBA与△FDC中 EB=FD;∠ABE=∠FDC=45°，CD=AB ∴△EBA≌△FDC（SAS）. ∴AE=CF,∠AEB=∠CFD ∴∠AED=∠CFH. ∵CM∥FH ∴∠H=∠ACB=∠ADB=45°. 在△AED与△CFH中 ∠ADB=∠H，∠AED=∠CFH，AE=CF ∴△AED≌△CFH（AAS） ∴DE=FH=2CM.

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考点分析：

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四季水果店正准备促销广西“脆皮桔”和山东烟台“红富士苹果”，已知“脆皮桔”的进价为12元／千克，售价为24元／千克，“红富士苹果”的进价为10元／千克，售价为20元／千克，第一天该店销售两种水果共获利1156元，其中“脆皮桔”的销量比“红富士苹果”销量的4倍少10千克．

（1）求第一天这两种水果的销量分别是多少千克？

（2）该店在第一天的售价基础上销售一段时间后，天气突然变冷不利于“脆皮桔”的保存，为了更好的销售这两种水果，店主决定对“脆皮桔”在原来售价基础上降价a%，销量在原有基础上增加a%，“红富士苹果”在原来售价基础上提升a%，销量比原来上升了30千克，其中两种水果的进价均不变，结果每天获利比原来多300元，求a的值．