Question

阅读下列材料，并解决问题：任意一个大于1的正整数m都可以表示为：m=p²+q（p、q是正整数），在m的所有这种表示中，如果最小时，规定：F(m)=．例如：21可以表示为：21=1²+20=2²+17=3²+12=4²+5，因为>>>，所以F(21)=．

（1）求F(33)的值；

（2）如果一个正整数n可以表示为t²-t（其中t≥2，且是正整数），那么称n是次完全平方数，证明：任何一个次完全平方数n，都有F(n)=1；

（3）一个三位自然数k，k=100a+10b+c(其中1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，且a≤c，a、b、c为整数)，满足十位上的数字恰好等于百位上的数字与个位上的数字之和，且k与其十位上数字的2倍之和能被9整除，求所有满足条件的k中F(k)的最小值．

Answer

（1）；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

（1）根据F(m)的定义，即可求出F(33)的值;

（2）设次完全平方数n=t2-t, t2-t=(t-1)2+(t-1)，根据F(m)的定义，求出即可证明.

（3）根据，，得到，根据能够被9整除，即可求出，进而得到，，，，根据F(k)的定义进行求解即可.

【解析】
（1）33可以表示为：，

∵，

∴；

（2）证明：设次完全平方数n=t2-t（其中t≥2，且是正整数），

∵t2-t=(t-1)2+(t-1)，

∴n=(t-1)2+(t-1)，

∴，即最小，

∴；

（3）∵，，

∴，

∴为整数·

∵，，

∴，

∴，

∵，

∴，，，，

∴，

∵，，，，

∴F(k)的最小值为．