Question

如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线AE：与抛物线相交于另一点E，点D为抛物线的顶点．

（1）求直线BC的解析式及点E的坐标；

（2）如图2，直线AE上方的抛物线上有一点P，过点P作PF⊥BC于点F，过点P作平行于轴的直线交直线BC于点G，当△PFG周长最大时，在轴上找一点M，在AE上找一点N，使得值最小，请求出此时N点的坐标及的最小值；

（3）在第（2）问的条件下，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点N，E，R，S为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．

  

Answer

（1）；E（，）；（2）N（1，0）；最小值为；

（3）S1（，），S2（，），S3（，），S4（，）

【解析】

（1）首先求出B、C两点坐标，利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，联立方程即可求出点E的坐标.
（2）由△PGF∽△OBC可得：，则，当PG取最大值时，△PFG周长最大，设，进而表示出,根据二次函数最值的求法即可求出点P的坐标，作点P关于轴的对称点P′，将直线AE绕点E逆时针方向旋转°得直线，且满足，过点作直线的垂线交于点K，交直线AE于点N，此时最小,求解即可.

（3）分四种情况，分别画出示意图，求解即可.

【解析】
（1）由抛物线解析式得B（4，0），C（0，-2），

设直线BC解析式为：，代入B、C坐得：，

∴，，

∴BC解析式为：，

联立，

解得；

（2）由△PGF∽△OBC可得：，

∴，

∴当PG取最大值时，△PFG周长最大，

设，

∴，

∴ ，

∵对称轴为直线a=2，开口向下，

∴当时，PG取得最大值，即△PFG周长最大，此时P（2，），

作点P关于轴的对称点P′（2，-），

将直线AE绕点E逆时针方向旋转°得直线，且满足，

过点作直线的垂线交于点K，交直线AE于点N，

此时最小，

∴直线解析式为，

直线的解析式为，

∴N点坐标为（1，0），

K点坐标为，

∴；

（3），，，．