Question

如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一点，连结AE．已知AB=8，CE=2，F是线段AE上一动点．若BF的延长线交正方形ABCD的一边于点G，且满足AE=BG，则的值为________．

Answer

1或

【解析】

根据题意进行分情况讨论,当点G在AD边上时,根据AE=BG,AB=AB, ∠BAG=∠ABE=90°,可证△ABG≌△BAE,可得AG=BE,根据AG∥BE,可得,当G’在CD上时,根据全等三角形的判定方法可证△ABE≌△BCG’可得∠BAE=∠CBG’,

根据∠CBG’+∠ABF’=90°,可得∠BAE+∠ABF’=90°,继而可得: ∠AF’B=90°,可得BG’ ⊥AE,根据AB=8,BE=6,根据勾股定理可得:AE=10,根据等面积法可得:BF’=,F’G’=,

可得.

(1)当点G在AD边上时,

因为AE=BG,AB=AB, ∠BAG=∠ABE=90°,

所以△ABG≌△BAE,

所以AG=BE,

因为AG∥BE,

所以,

（2）当G’在CD上时,

同理可证△ABE≌△BCG’,

所以∠BAE=∠CBG’,

因为∠CBG’+∠ABF’=90°,

所以∠BAE+∠ABF’=90°,

所以 ∠AF’B=90°,

所以BG’ ⊥AE,

根据AB=8,BE=6,根据勾股定理可得:AE=10,

根据等面积法可得:BF’=,F’G’=,

所以.