Question

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为t秒．

（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；

（2）当t＝3秒时，P、Q两点之间的距离是多少？

（3）当t为多少秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？

Answer

； 秒或秒时，以点、、为顶点的三角形与相似．

【解析】

（1）由点P，点Q的运动速度和运动时间，又知AC，BC的长，可将CP、CQ用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式S△CPQ=CP×CQ求解；

（2）在Rt△CPQ中，当t=3秒，可知CP、CQ的长，运用勾股定理可将PQ的长求出；

（3）应分两种情况：当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，根据=，可求出时间t；当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，根据=，可求出时间t．

（1）由题意得：AP=4t，CQ=2t，则CP=20﹣4t，因此Rt△CPQ的面积为S=CP×CQ=（0≤t≤5）；

（2）由题意得：AP=4t，CQ=2t，则CP=20﹣4t，当t=3秒时，CP=20﹣4t=8cm，CQ=2t=6cm．

在Rt△CPQ中，由勾股定理得：PQ=；

（3）由题意得：AP=4t，CQ=2t，则CP=20﹣4t．

分两种情况讨论：

①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，，即，解得：t=3秒；

②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，，即，解得：t=秒．

因此t=3秒或t=秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．