Question

如图，直线与坐标轴分别交于点A、B，与直线交于点C．在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）。

（1）求点P运动的速度是多少？

（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？

（3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值。

           

Answer

（1）点P运动的速度是每秒2个单位长度；（2）4；（3）当t=4时，S的最大值为：16.

【解析】

（1）根据直线与坐标轴分别交于点A、B，得出A，B点的坐标，再利用EP∥BO，得出，据此可以求得点P的运动速度.
（2）当PQ=PE时，以及当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，分别求出即可.
（3）根据（2）中所求得出S与t的函数关系式，从而利用二次函数性质求出即可.

【解析】
（1）∵直线与坐标轴分别交于点A、B，
∴x=0时，y=4；y=0时，x=8。∴BO=4，AO=8。∴.
当t秒时，QO=FQ=t，则EP=t，
∵EP∥BO，∴△ABO∽△ARP.∴，即.
∴AP=2t
∵动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，
∴点P运动的速度是每秒2个单位长度.
（2）∵当OP=OQ时，PE与QF重合，此时t=，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动，
∴分0＜t＜和＜t≤4两种情况讨论：
如图1，当0＜t＜,即点P在点Q右侧时，若PQ=PE，矩形PEFQ为正方形， 

∵OQ=FQ=t，PA=2t，
∴QP=8－t－2t=8－3t.
∴8－3t=t.
解得：t=2
如图2，当＜t≤4，即点P在点Q左侧时，若PQ=PE，矩形PEFQ为正方形，∵OQ=t，PA=2t，∴OP=8－2t

∴
∴
解得：t=4.
∴当t为2秒或4秒时，矩形PEFQ为正方形.
（3）同（2）分0＜t＜和＜t≤4两种情况讨论：
如图1，当0＜t＜时，Q在P点的左边
∵OQ=t，PA=2t，∴QP=8－t－2t=8－3t，
∴。
∴当t=时，S的最大值为，
如图2，当＜t≤4时，Q在P点的右边，
∵OQ=t，PA=2t，∴.
∴.
∵当＜t≤4时，S随t的增大而增大，∴t=4时，S的最大值为：3×42﹣8×4=16.
综上所述，当t=4时，S的最大值为：16.