Question

农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：

销售价格x（元/千克）	30	35	40	45	50
日销售量p（千克）	600	450	300	150	0

（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式；

（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？

（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值．（日获利=日销售利润﹣日支出费用）

Answer

（1）

【解析】

（1）首先根据表中的数据，可猜想y与x是一次函数关系，任选两点求表达式，再验证猜想的正确性；
（2）根据题意列出日销售利润w与销售价格x之间的函数关系式，根据二次函数的性质确定最大值即可；
（3）根据题意列出日销售利润w与销售价格x之间的函数关系式，并求得抛物线的对称轴，再分两种情况进行讨论，依据二次函数的性质求得a的值．

（1）假设p与x成一次函数关系，设函数关系式为p=kx+b，

则，

解得：k=﹣30，b=1500，

∴p=﹣30x+1500，

检验：当x=35，p=450；当x=45，p=150；当x=50，p=0，符合一次函数解析式，

∴所求的函数关系为p=﹣30x+1500；

（2）设日销售利润w=p（x﹣30）=（﹣30x+1500）（x﹣30）

即w=﹣30x2+2400x﹣45000，

∴当x=﹣=40时，w有最大值3000元，

故这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大；

（3）日获利w=p（x﹣30﹣a）=（﹣30x+1500）（x﹣30﹣a），

即w=﹣30x2+（2400+30a）x﹣（1500a+45000），

对称轴为x=﹣=40+a，

①若a＞10，则当x=45时，w有最大值，

即w=2250﹣150a＜2430（不合题意）；

②若a＜10，则当x=40+a时，w有最大值，

将x=40+a代入，可得w=30（a2﹣10a+100），

当w=2430时，2430=30（a2﹣10a+100），

解得a1=2，a2=38（舍去），

综上所述，a的值为2．