Question

图1是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′叠放在一起（C与C′重合）．

（1）操作：固定△ABC，将△C′D′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连接AD、BE，CE的延长线交AB于F（图2）；

探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论．

（2）操作：将图2中的△CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR（图3）；

请问：经过多少时间，△PQR与△ABC重叠部分的面积恰好等于？

（3）操作：图1中△C′D′E′固定，将△ABC移动，使顶点C落在C′E′的中点，边BC交D′E′于点M，边AC交D′C′于点N，设∠AC C′＝α（30°＜α＜90，图4）；

探究：在图4中，线段C′N•E′M的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请你求出C′N•E′M的值，如果有变化，请你说明理由．

Answer

(1)见解析;(2) 1秒;(3)见解析.

【解析】

（1）由△ABC与△DCE是等边三角形，利用SAS易证得△BCE≌△ACD，即可得BE=AD；

（2）首先设经过x秒重叠部分的面积是，在△CQT中，求得QT=QC=x，RT=3-x，根据三角形面积公式可得方程×32-（3-x）2=，解此方程即可求得答案；

（3）首先证得∠MCE′=∠CNC′，又由∠E′=∠C′，根据有两角对应相等的三角形相似证得△E′MC∽△C′CN，又由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

（1）BE＝AD

证明：∵△ABC与△DCE是等边三角形，

∴∠ACB＝∠DCE＝60°，CA＝CB，CE＝CD，

∴∠BCE＝∠ACD，

∴△BCE≌△ACD，

∴BE＝AD；

（2）设经过x秒重叠部分的面积是，

如图在△CQT中，

∵∠TCQ＝30°，∠RQP＝60°，

∴∠QTC＝30°，

∴∠QTC＝∠TCQ，

∴QT＝QC＝x，

∴RT＝3﹣x，

∵∠RTS+∠R＝90°，

∴∠RST＝90°，

由已知得×32-（3-x）2=，

∴x1＝1，x2＝5，

∵0≤x≤3，

∴x＝1，

答：经过1秒重叠部分的面积是；

（3）C′N•E′M的值不变．

证明：∵∠ACB＝60°，

∴∠MCE′+∠NCC′＝120°，

∵∠CNC′+∠NCC′＝120°，

∴∠MCE′＝∠CNC′，

∵∠E′＝∠C′，

∴△E′MC∽△C′CN，

∴，

∴C′N•E′M＝C′C•E′C＝．