Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x²﹣x﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．

（1）求直线AE的解析式；

（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；

（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y=x²﹣x﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在一点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y=x+．（2）3，（3）点Q的坐标为（3，），Q′（3，）或（3，2）或（3，﹣）．

【解析】

试题（1）抛物线的解析式可以变天为y=(x+1)(x-3),从而可得到点A和点B的坐标，然后再求得点E的坐标，设直线AE的解析式为y=kx+b，将点A和点E的坐标代入，求得k和b的值，从而得到AE的解析式；

（2）设直线CE的解析式为y=mx-,将点E的坐标代入求得ｍ的值，从而得到直线CE的解析式，过点P作PF∥y轴，交CE于点F，设点P的坐标为（x，x2﹣x﹣），则点F（x，x-），则FP＝﹣x２＋．由三角形的面积公式得：ΔEPC的面积=-x2+x，利用二次函数的媒体人富士康得x的值，从而求得点P的坐标，作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP于N、M，然后利用轴对称的性质可得到点G和H的坐标，当点O、N、M、H在一条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值=GH。

（3）由平移后的抛物线经过点D，可得到点F的坐标，利用中点坐标公式可求得点G的坐标，然后分为QG=FG、QG=QF、FQ=FQ三种情况求解即可.

试题解析：（1）∵y=x2﹣x﹣，

∴y=（x+1）（x﹣3）．

∴A（﹣1，0），B（3，0）．

当x=4时，y=．

∴E（4，）．

设直线AE的解析式为y=kx+b，将点A和点E的坐标代入得：

，

解得：k=，b=．

∴直线AE的解析式为y=x+．

（2）设直线CE的解析式为y=mx﹣，将点E的坐标代入得：4m﹣=，解得：m=．

∴直线CE的解析式为y=x﹣．

过点P作PF∥y轴，交CE与点F．

设点P的坐标为（x，x2﹣x﹣），则点F（x，x﹣），

则FP=（x﹣）﹣（x2﹣x﹣）=x2+x．

∴△EPC的面积=×（x2+x）×4=﹣x2+x．

∴当x=2时，△EPC的面积最大．

∴P（2，﹣）．

如图2所示：作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP与N、M．

∵K是CB的中点，

∴k（，﹣）．

∵点H与点K关于CP对称，

∴点H的坐标为（，﹣）．

∵点G与点K关于CD对称，

∴点G（0，0）．

∴KM+MN+NK=MH+MN+GN．

当点O、N、M、H在条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值=GH．

∴GH==3．

∴KM+MN+NK的最小值为3．

（3）如图3所示：

∵y′经过点D，y′的顶点为点F，

∴点F（3，﹣）．

∵点G为CE的中点，

∴G（2，）．

∴FG=．

∴当FG=FQ时，点Q（3，），Q′（3，）．

当GF=GQ时，点F与点Q″关于y=对称，

∴点Q″（3，2）．

当QG=QF时，设点Q1的坐标为（3，a）．

由两点间的距离公式可知：a+=，解得：a=﹣．

∴点Q1的坐标为（3，﹣）．

综上所述，点Q的坐标为（3，），Q′（3，）或（3，2）或（3，﹣）．