Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，过点C的切线交AB的延长线于点F，连接DF．

（1）求证：DF是⊙O的切线；

（2）连接BC，若∠BCF=30°，BF=2，求CD的长．

Answer

（1）见解析；（2）2.

【解析】

(1) 连接OD, 直径AB⊥弦CD，可得CE=ED，即OF为CD的垂直平分线，可得DF是⊙O的切线；

(2) 由∠BCF=30°，BF=2，可得△OCB为等边三角形，在Rt△OCE中可求得CE的长进而求得CD的长.

（1）证明：连接OD，如图，

∵CF是⊙O的切线

∴∠OCF=90°，

∴∠OCD+∠DCF=90°

∵直径AB⊥弦CD，

∴CE=ED，即OF为CD的垂直平分线

∴CF=DF，

∴∠CDF=∠DCF，

∵OC=OD，

∴∠CDO=∠OCD

∴∠CDO+∠CDB=∠OCD+∠DCF=90°，

∴OD⊥DF，

∴DF是⊙O的切线；

（2）【解析】
∵∠OCF=90°，∠BCF=30°，

∴∠OCB=60°，

∵OC=OB，

∴△OCB为等边三角形，

∴∠COB=60°，

∴∠CFO=30°

∴FO=2OC=2OB，

∴FB=OB=OC=2，

在Rt△OCE中，∵∠COE=60°，

∴OE=OC=1，

∴CE=OE=，

∴CD=2CE=．