Question

如图，已知点E在直角△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D．

（1）求证：AD平分∠BAC；

（2）若BE=2，BD=4，求⊙O的半径．

Answer

（1）证明：连接OD，

∵BC是⊙O的切线，∴OD⊥BC。

又∵AC⊥BC，∴OD∥AC。∴∠2=∠3。

∵OA=OD，∴∠1=∠3。∴∠1=∠2。

∴AD平分∠BAC。

（2）【解析】
∵BC与圆相切于点D，∴BD2=BE•BA。

∵BE=2，BD=4，∴BA=8。

∴AE=AB﹣BE=6。∴⊙O的半径为3。

【解析】切线的性质，平行的性质，切割线定理。

（1）先连接OD，杂而OD⊥BC和AC⊥BC，再由其平行从而得证；

（2）利用切割线定理可先求出AB，进而求出圆的直径，半径则可求出。

【没有学习切割线定理的可连接DE，证△ABD∽△DBE，得AB：BD=BD：BE求得AB=8，···】