Question

在△ABC中,∠C=90°,以AB上一点O为圆心,OA为半径的圆与BC相切于点D,分别交AB,AC于点E,F.

（1）如图①,连接AD,若∠CAD=25°,求∠B的大小;

（2）如图②,若点F为弧AD的中点,⊙O的半径为2,求AB的长.

Answer

(1)∠B=40°；(2)AB= 6.

【解析】

（1）连接OD，由在△ABC中, ∠C=90°，BC是切线,易得AC∥OD ,即可求得∠CAD=∠ADO ,继而求得答案; 

（2）首先连接OF,OD,由AC∥OD得∠OFA=∠FOD ,由点F为弧AD的中点,易得△AOF是等边三角形,继而求得答案.

解:(1)如解图①,连接OD,

∵BC切⊙O于点D,

∴∠ODB=90°,

∵∠C=90°,

∴AC∥OD,

∴∠CAD=∠ADO,

∵OA=OD,

∴∠DAO=∠ADO=∠CAD=25°,

∴∠DOB=∠CAO=∠CAD＋∠DAO=50°,

∵∠ODB=90°,

∴∠B=90°－∠DOB=90°－50°=40°;

(2)如解图②,连接OF,OD,

∵AC∥OD,

∴∠OFA=∠FOD,

∵点F为弧AD的中点,

∴∠AOF=∠FOD,

∴∠OFA=∠AOF,

∴AF=OA,

∵OA=OF,

∴△AOF为等边三角形,

∴∠FAO=60°,则∠DOB=60°,

∴∠B=30°,

∵在Rt△ODB中,OD=2,

∴OB=4,

∴AB=AO＋OB=2＋4=6.