Question

如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．

（1）求证：四边形OCED是菱形；

（2）若∠BAC＝30°，AC＝8，求菱形OCED的面积．

Answer

（1）见解析；（2）8．

【解析】

（1）根据平行四边形的判定得出四边形OCED是平行四边形，根据矩形的性质求出OC＝OD，根据菱形的判定得出即可．

（2）解直角三角形求出BC＝4，AB＝DC＝4，连接OE，交CD于点F，根据菱形的性质得出F为CD中点，求出OF＝BC＝2，求出OE＝2OF＝4，求出菱形的面积即可．

【解析】
（1）证明：∵CE∥OD，DE∥OC，

∴四边形OCED是平行四边形，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AC＝BD，OC＝AC，OD＝BD，

∴OC＝OD，

∴四边形OCED是菱形；

（2）在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，AC＝8，

∴BC＝4，

∴AB＝DC＝4，

连接OE，交CD于点F，

∵四边形ABCD为菱形，

∴F为CD中点，

∵O为BD中点，

∴OF＝BC＝2，

∴OE＝2OF＝4，

∴S菱形OCED＝×OE×CD＝×4×4＝8．