Question

如图1，在圆O中，直径CD⊥弦AB于点E，点P是CD延长线上一点，连接PB、BD．

（1）若BD平分∠ABP，求证：PB是圆O的切线；

（2）若PB是圆O的切线，AB＝4，OP＝4，求OE的长；

（3）如图2，连接AP，延长BD交AP于点F，若BD⊥AP，AB＝2，OP＝4，求tan∠BDE的值．

Answer

（1）见解析;（2）OE＝2；（3）tan∠BDE＝．

【解析】

（1）连接BC，BO，根据圆周角定理得到∠CBD＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠OBC＝∠C，于是得到结论；

（2）设OB＝r，OE＝x，证△OBE∽△OPB得 ，即r2＝4x，在Rt△OBE中，由OB2＝OE2+BE2可得关于x的方程，解之可得答案；

（3）连接BC，BO，根据已知条件得到AP∥BC，根据平行线的性质得到∠C＝∠APC，根据垂径定理得到AE＝BE，根据等腰三角形的性质得到CE＝PE，设OE＝x，CO＝BO＝r，根据勾股定理即可得到x的值，进一步可得DE的长，根据三角函数的定义可得答案．

【解析】
（1）连接BC，BO，

∵CD是⊙O的直径，

∴∠CBD＝90°，

∵CD⊥AB，

∴∠DBE＝∠C＝90°﹣∠CDB，

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠C，

∵∠PBD＝∠EBD，

∴∠PBD＝∠OBC，

∴∠PBO＝90°，

∴PB是⊙O的切线；

（2）设OB＝r，OE＝x，

∵PB为⊙O的切线，CD⊥AB，

∴∠OBP＝∠OEB＝90°，

又∵∠BOE＝∠POB，

∴△OBE∽△OPB，

则，即，

∴r2＝4x，

∵AB＝4，CD⊥AB，

∴AE＝BE＝2，

在Rt△OBE中，由OB2＝OE2+BE2可得4x＝x2+4，

解得：x＝2，即OE＝2；

（3）如图2，连接BC，BO，

∵CD是⊙O的直径，

∴BC⊥BD，

∵BD⊥AP，

∴AP∥BC，

∴∠C＝∠APC，

∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，

∴AE＝BE，

∴AP＝BP，

∴∠APC＝∠BPC，

∴∠C＝∠BPC，

∴CE＝PE，

设OE＝x，CO＝BO＝r，

∴r+x＝4﹣x，

∴r＝4﹣2x，

∵AB＝2，

∴BE＝AB＝，

在Rt△BEO中，BO2＝OE2+BE2，即（4﹣2x）2＝x2+（）2，

解得：x＝1或x＝（不合题意，舍去），

∴OE＝1、OD＝OB＝4﹣2＝2，

则DE＝OD﹣OE＝1，

∴tan∠BDE＝ ＝．