Question

定义：在平面直角坐标系中，点Q坐标为（x，y），若过点Q的直线l与x轴夹角为45°时，则称直线l为点Q的“湘依直线”．

（1）已知点A的坐标为（6，0），求点A的“湘依直线”表达式；

（2）已知点D的坐标为（0，﹣4），过点D的“湘依直线”图象经过第二、三、四象限，且与x轴交于C点，动点P在反比例函数y=（x＞0）上，求△PCD面积的最小值及此时点P的坐标；

（3）已知点M的坐标为（0，2），经过点M且在第一、二、三象限的“湘依直线”与抛物线y=x²+（m﹣2）x+m+2相交与A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，若0≤x₁≤2，0≤x₂≤2，求m的取值范围．

Answer

（1）y=x﹣6或y=﹣x+6；（2）△PCD面积的最小值是24，此时点P的坐标是（4，4）；（3）m的取值范围是1≤m≤3．

【解析】

（1）由“湘依直线”的定义知，直线l与直线y=x或y=﹣x平行．设点A的“湘依直线”表达式为：y=x+b或y=﹣x+b，将A（6， 0）代入，得0=6+b，或0=﹣6+b，由此求得b值，即可求点A的“湘依直线”表达式；（2）先求得过点D的“湘依直线”为y=﹣x﹣4，再求得C点的坐标为（﹣4，0），即可得△OCD是等腰直角三角形，所以CD=4．因为线段CD的长度为定值，可知当过点P的直线与直线CD垂直时，△PCD面积的最小，由此即可解答；（3）求得过点M的“湘依直线”为y=x+2，把抛物线的解析式和过点M的“湘依直线”联立后整理可得x2+（m﹣3）x+m=0，根据根与系数的关系可x1+x2=3﹣m，x1•x2=m．由0≤x1≤2，0≤x2≤2，可知0≤x1+x2≤4，0≤x1•x2≤4且（m﹣3）2﹣4m≥0．由此即可求得m的取值范围.

由“湘依直线”的定义知，直线l与直线y=x或y=﹣x平行．

（1）设点A的“湘依直线”表达式为：y=x+b或y=﹣x+b，

将A（6， 0）代入，得0=6+b，或0=﹣6+b

解得b=﹣6或b=6．

故点A的“湘依直线”表达式为：y=x﹣6或y=﹣x+6；

（2）∵点D的坐标为（0，﹣4），过点D的“湘依直线”图象经过第二、三、四象限，

∴过点D的“湘依直线”为y=﹣x﹣4，

∴C（﹣4，0），即△OCD是等腰直角三角形，

∴CD=4．

∵线段CD的长度为定值，

∴当过点P的直线与直线CD垂直时，△PCD面积的最小，

又∵点P在反比例函数y=（x＞0）图象上，

∴点P是线段CD的垂直平分线与双曲线的交点，如图，

∵直线CD与直线y=﹣x平行，

∴点P在直线y=x上，

故设P（a，a），

∴a=，

解得a=4（舍去负值）．

此时P（4，4），

S△PCD=×4×（4+2）=24．

综上所述，△PCD面积的最小值是24，此时点P的坐标是（4，4）；

（3）∵点M的坐标为（0，2），过点M的“湘依直线”经过第一、二、三象限，

∴过点M的“湘依直线”为y=x+2，

则由题意知，

整理，得x2+（m﹣3）x+m=0

∴x1+x2=3﹣m，x1•x2=m．

又0≤x1≤2，0≤x2≤2，

∴0≤x1+x2≤4，0≤x1•x2≤4且（m﹣3）2﹣4m≥0．

即0≤3﹣m≤4，0≤m≤4且（m﹣3）2﹣4m≥0．

解得，1≤m≤3．

故m的取值范围是1≤m≤3．