Question

如图1，一次函数y＝﹣x+3的图象交x轴于点A，交y轴于点D，抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）的顶点为C，其图象过A、D两点，并与x轴交于另一个点B（B点在A点左侧），若；

（1）求此抛物线的解析式；

（2）连结AC、BD，问在x轴上是否存在一个动点Q，使A、C、Q三点构成的三角形与△ABD相似．如果存在，求出Q点坐标；如果不存在，请说明理由．

（3）如图2，若点P是抛物线上一动点，且在直线AD下方，（点P不与点A、点D重合），过点P作y轴的平行线l与直线AD交于点M，点N在直线AD上，且满足△MPN∽△ABD，求△MPN面积的最大值．

Answer

（1）y＝x2﹣4x+3；（2）见解析;（3）△MPN的面积的最大值为:．

【解析】

（1）利用一次函数解析式确定D（3，0）；A（3，0），则可判断△OAD为等腰直角三角形，再计算出AB＝2得到B（1，0），然后利用待定系数确定抛物线解析式；

（2）作CH⊥x轴，如图1，先利用二次函数的性质得到C（3，﹣1），再判断△ACH为等腰直角三角形得到∠CAH＝45°，AC＝，则∠CAQ＝∠DAB，根据相似三角形的判定方法，当时，△AQC∽△ADB，即，当 时，△AQC∽△ABD，即，然后分别求出对应的AQ的值，从而得到对应的Q点的坐标；

（3）作PE⊥AD于E，如图2，利用相似三角形的性质得到MN＝MP，设P（x，x2﹣4x+3），则M（x，﹣x+3），所以MP＝﹣x+3﹣（x2﹣4x+3），根据二次函数的性质，当x＝时，MP有最大值，则MN的最大值为，接着确定PE的最大值为，然后根据三角形面积公式计算出△MPN的面积的最大值．

【解析】
（1）当x＝0时，y＝﹣x+3＝3，则D（3，0）；

当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝3，则A（3，0），

∵OD＝OA，

∴△OAD为等腰直角三角形，

∴AD＝3，

∵，

∴AB＝2，

∴B（1，0），

设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），

把D（0，3）代入得a•（﹣1）•（﹣3）＝3，解得a＝1，

∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x﹣3），即y＝x2﹣4x+3；

（2）作CH⊥x轴，如图1，

∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，

∴C（2，﹣1）

∴AH＝CH＝1，

∴△ACH为等腰直角三角形，

∴∠CAH＝45°，AC＝，

∵△OAD为等腰直角三角形，

∴∠DAO＝45°，

∵∠CAQ＝∠DAB，

∴当时，△AQC∽△ADB，即，解得AQ＝3，此时Q（0，0）；

当时，△AQC∽△ABD，即，解得AQ＝，此时Q（，0）；

综上所述，Q点的坐标为（0，0）或（，0）；

（3）作PE⊥AD于E，如图2，

∵△MPN∽△ABD，

∴，

∴MN＝MP，

设P（x，x2﹣4x+3），则M（x，﹣x+3），

∴MP＝﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，

当x＝时，MP有最大值，

∴MN的最大值为＝，

∵∠PME＝45°，

∴PE＝PM，

∴PE的最大值为×＝，

∴△MPN的面积的最大值为××＝ ．