Question

如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于点D，交△ABC的外接圆于点E．

(1)BE与IE相等吗？请说明理由．

(2)连接BI，CI，CE，若∠BED=∠CED=60°，猜想四边形BECI是何种特殊四边形，并证明你的猜想．

Answer

(1)IE=BE，理由见解析；(2)四边形BECI是菱形，证明见解析.

【解析】

（1）连接IB，只需证明∠IBE=∠BIE．根据三角形的外角的性质、三角形的内心是三角形的角平分线的交点以及圆周角定理的推论即可证明；

（2）如图2，由∠BED=∠CED=60°，可得∠ABC=∠ACB=60°，可得BE=CE，再由I是△ABC的内心，可得∠4=∠ICD，从而可得BI=IC，再由(1)证得IE=BE，可得BE=CE=BI=IC，继而可得四边形BECI是菱形．

(1)如图1，连接BI，

∵I是△ABC的内心，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∵∠BIE=∠1+∠3，

∠IBE=∠5+∠4，

而∠5=∠1=∠2，

∴∠BIE=∠IBE，

∴IE=BE．

(2)四边形BECI是菱形，

如图2，∵∠BED=∠CED=60°，

∴∠ABC=∠ACB=60°，

∴BE=CE，

∵I是△ABC的内心，

∴∠4=∠ABC=30°，∠ICD=∠30°，

∴∠4=∠ICD，

∴BI=IC，

由(1)证得IE=BE，

∴BE=CE=BI=IC，

∴四边形BECI是菱形．