Question

如图，在▱ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝，对角线AC，BD交于O点，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交于BC，AD于点E，F．

（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；

（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；

（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）四边形BEDF可以是菱形．理由见解析；AC绕点O顺时针旋转45°时，四边形BEDF为菱形．

【解析】

试题（1）当旋转角为90°时，∠AOF=90°，由AB⊥AC，可得AB∥EF，即可证明四边形ABEF为平行四边形；

（2）根据平行四边形的性质证得△AOF≌△COE即可；

（3）EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形，可根据勾股定理求得AC=2，则OA=1=AB，又AB⊥AC，即可求得结果．

（1）当∠AOF=90°时，AB∥EF，

又∵AF∥BE，

∴四边形ABEF为平行四边形．

（2）∵四边形ABCD为平行四边形，

在△AOF和△COE中

∵∠FAO=∠ECO，AO=CO，∠AOF=∠ECO

∴△AOF≌△COE（ASA）

∴AF=EC；

（3）四边形BEDF可以是菱形．

理由：如图，连接BF，DE

由（2）知△AOF≌△COE，得OE=OF，

∴EF与BD互相平分．

∴当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形．

在Rt△ABC中，

∴OA=1=AB，

又∵AB⊥AC，

∴∠AOB=45°，

∴∠AOF=45°，

∴AC绕点O顺时针旋转45°时，四边形BEDF为菱形．