Question

如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，且MG⊥BC，运动时间为t秒（0＜t＜），连接MN．

（1）用含t的式子表示MG；

（2）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小面积；

（3）若△BMN与△ABC相似，求t的值．

Answer

（1）MG＝t；（2）t＝2秒时，S四边形ACNM最小＝cm2；（3）△BMN与△ABC相似，t的值为秒或秒．

【解析】

（1）先利用勾股定理求出AB＝10，再判断出△BGM∽△BCA，得出比例式即可得出结论；

（2）先表示出MN，最后利用三角形的面积差即可建立函数关系式，即可得出结论；

（3）先表示出BM，BN，再分两种情况，利用相似三角形得出比例式建立方程求解即可得出结论．

【解析】
（1）由运动知，BM＝3t，

在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，

∴AB＝10，

∵MG⊥BC，

∴∠MGB＝90°＝∠ACB，

∵∠B＝∠B，

∴△BGM∽△BCA，

∴，

∴，

∴MG＝t；

（2）由运动知，CN＝2t，

∴BN＝BC﹣CN＝8﹣2t，

由（1）知，MG＝t，

∴S四边形ACNM＝S△ABC﹣S△BNM＝BC×AC﹣BN×MG＝×8×6﹣（8﹣2t）×t＝（t﹣2）2+，

∵0＜t＜，

∴t＝2秒时，S四边形ACNM最小＝cm2；

（3）由（1）（2）知，BM＝3t，BN＝8﹣2t，

∵△BMN与△ABC相似，

∴①当△BMN∽BAC时，，

∴ ，

∴t＝秒，

②当△BMN∽△BCA时，，

∴，

∴t＝秒，

即：△BMN与△ABC相似，t的值为秒或秒．