Question

已知：如图，AM为⊙O的切线，A为切点．过⊙O上一点B作BD⊥AM于点D，BD交⊙O于点C，OC平分∠AOB．

（1）求∠AOB的度数；

（2）当⊙O的半径为4cm时，求CD的长．

Answer

（1）∠AOB＝120°；（2）EC＝2．

【解析】

（1）由AM为圆O的切线，利用切线的性质得到OA与AM垂直，再由BD与AM垂直，得到OA与BD平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等；再由OC为角平分线得到一对角相等，以及OB=OC，利用等边对等角得到一对角相等，然后利用等量代换得到∠BOC=∠OBC=∠OCB=60°，从而得出答案；

（2），过点O作OE⊥BD于点E，如图，进而得出四边形OADE是矩形，再结合（1）的解答过程进行推理，即可得出DC的长.

（1）∵AM为圆O的切线，

∴OA⊥AM，

∵BD⊥AM，

∴∠OAD＝∠BDM＝90°，

∴OA∥BD，

∴∠AOC＝∠OCB，

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB，

∵OC平分∠AOB，

∴∠AOC＝∠BOC，

∴∠BOC＝∠OCB＝∠OBC＝60°，

∴∠AOB＝120°；

（2）过点O作OE⊥BD于点E，

∵∠BOC＝∠OCB＝∠OBC＝60°，

∴△OBC是等边三角形，

∴BE＝EC＝2，

∵∠OED＝∠EDA＝∠OAD＝90°，

∴四边形OADE是矩形，

∴DE＝OA＝4，

∴EC＝DC＝2．