Question

如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于E，AC⊥PQ于C，交⊙O于D．

(1)求证：AE平分∠BAC；

(2)若AD=2，EC= ，∠BAC=60°，求⊙O的半径．

Answer

（1）证明见解析；（2）2.

【解析】

试题（1）连接OE，根据切线的性质就可以得出OE⊥PQ，就可以得出OE∥AC，可以得出∠BAE=∠CAE而得出结论；

（2）连接BE，由AE平分∠BAC就可以得出∠BAE=∠CAE=30°，就可以求出AE=2，在Rt△ABE中由勾股定理可以求出AB的值，从而求出结论．

试题解析：（1）证明：连接OE，

∴OA=OE，

∴∠OEA=∠OAE．

∵PQ切⊙O于E，

∴OE⊥PQ．

∵AC⊥PQ，

∴OE∥AC．

∴∠OEA=∠EAC，

∴∠OAE=∠EAC，

∴AE平分∠BAC．

（2）【解析】
连接BE，

∵AB是直径，

∴∠AEB=90°．

∵∠BAC=60°，

∴∠OAE=∠EAC=30°．

∴AB=2BE．

∵AC⊥PQ，

∴∠ACE=90°，

∴AE=2CE．

∵CE=，

∴AE=2．

设BE=x，则AB=2x，由勾股定理，得

x2+12=4x2，

解得：x=2．

∴AB=4，

∴⊙O的半径为2．