Question

阅读材料：若关于x的一元二次方程的根均为整数，称该方程为“快乐方程”. 我们发现任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数. 规定为该“快乐方程”的“快乐数”. 若有另一个“快乐方程”的“快乐数”为且满足，则称互为“乐呵数”. 例如：“快乐方程”的两根均为整数，其判别式，其“快乐数”

（1）“快乐方程”的“快乐数”为         ，若关于x的一元二次方程（m为整数，且5＜m＜22）是“快乐方程”，求其“快乐数”；

（2）若关于x的一元二次方程与（m、n均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“乐呵数”，求n的值.

Answer

（1）-1 （2）0或1或4

【解析】

（1）根据“快乐数”的定义即可求出“快乐方程”的“快乐数”，

，根据“快乐方程”的定义，得到为完全平方数，根据5＜m＜22，得到49＜4m+29＜117，即可求出4m+29=64或81或100，根据m为整数，即可求出m的值，即可求其“快乐数”；

（2）关于x的一元二次方程是“快乐方程”，即可求出的值，

求出方程的“快乐数”，根据“乐呵数”的定义即可求出n的值.

【解析】
（1）

由题得

∵已知方程为“快乐方程”

∴为完全平方数

又∵5＜m＜22 则49＜4m+29＜117

∴ 4m+29=64或81或100

∵m为整数

∴m=13

∴原方程为，其根为，，符合题意.

其“快乐数”为：

（2）由题得方程的

∵方程是“快乐方程”

∴完全平方数.

设（k为整数），则

又与同奇偶，且m、k为整数，则

或或或

解得：或

∴方程为或，其根均为整数，

它们的“快乐数”都为 .

由题得方程可变形为，解得，，

∵n 为整数，

∴方程为“快乐方程”，其“快乐数”为

又由题方程、的“快乐数”互为“乐呵数”，可得

（i）当时，， 解得，，

（ii）当时，， 解得，

综上所述，n的值为0或1或4.