Question

如图，已知AC是矩形ABCD的对角线，AC的垂直平分线EF分别交BC、AD于点E和F，EF交AC于点O．

（1）求证：四边形AECF是菱形；

（2）若AC＝8，EF＝6，求菱形的边长．

Answer

（1）证明见解析 （2）5

【解析】

（1）根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断；

（2）根据勾股定理可求菱形的边长．

（1）∵EF垂直平分AC，

∴OA＝OC，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠DAC＝∠ACB，∠AEO＝∠CFO，且OA＝OC，

∴△AOE≌△COF（AAS）

∴OE＝OF，且OA＝OC，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵AC⊥EF，

∴四边形AECF是菱形；

（2）∵AC＝8，EF＝6，

∴OA＝OC＝4，OE＝OF＝3，

∵AC⊥EF，

∴AE＝＝5，

∴菱形的边长为5.