Question

如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，点E从点D出发，沿DA方向以每秒1个单位的速度向点A运动，点F从点B出发，沿射线AB以每秒3个单位的速度运动，当点E运动到点A时，E、F两点停止运动．连结BD，过点E作EH⊥BD，垂足为H，连结EF，交BD于点G，交BC于点M，连结CF．

（1）△CDE与△CBF相似吗？为什么？

（2）求证：∠DBC＝∠EFC；

（3）同线段GH的值是定值吗？如果不是，请说明理由；如果是，求出这个定值．

Answer

（1）答案见解析 （2）证明见解析 （3）是定值

【解析】

（1）根据两边成比例夹角相等两三角形相似即可判断；

（2）想办法证明△DCB∽△ECF，可得∠DBC＝∠EFC；

（3）结论：线段GH的值是定值．GH＝．由△EDC∽△EHG，可得＝，由AB＝DC，可得＝，想办法用t表示EH，代入化简即可解决问题.

（1）∵四边形ABCD是矩形，AD∥BC，AB＝DC，

∴∠CDA＝∠DCB＝∠DAB＝∠ABC＝90°，

∵＝＝，＝＝，

∴＝，

∵∠CDE＝∠FBC＝90°

∴△CDE∽△CBF；

（2）证明：∵△CDE∽△CBF，

∴∠DCE＝∠BCF，＝，

∵∠DCE+∠BCE＝90°，

∴∠BCE+∠BCF＝90°，

∴∠ECF＝90°，

∴＝，

∵∠DCB＝∠ECF

∴△DCB∽△ECF，

∴∠DBC＝∠EFC．

（3）结论：线段GH的值是定值．GH＝．

理由：作CN⊥DB于N，

∵AD＝BC＝6，AB＝2，

∴BD＝＝2，

∵∠EDH＝∠ADB，∠EHD＝∠DAB，

∴△DEH∽△DBA，

∴，

∴＝，

∴EH＝t，

∵△DCB∽△ECF，

∴∠DBC＝∠EFC，

∴∠CDB＝∠CEF，

∵∠CDB+∠DCN＝90°，∠DCN+∠NCB＝90°，

∴∠BDC＝∠NCB＝∠CEF

∵CN⊥BD，EH⊥DB，

∴CN∥EH，

∴∠NCE＝∠CEH，

∴∠ECB＝∠HEG，

∵AD∥BC，

∴∠DEC＝∠ECB，

∴∠DEC＝∠HEG，

∵∠EDC＝∠EHG＝90°，

∴△EDC∽△EHG，

∴，

∵AB＝DC，

∴，

∴＝，

∴HG＝．