Question

用1块A型钢板可制成2块C型钢板和1块D型钢板；用1块B型钢板可制成1块C型钢板和3块D型钢板．现购买A、B型钢板共100块，并全部加工成C、D型钢板．设购买A型钢板x块（x为整数）

（1）可制成C型钢板　   　块（用含x的代数式表示）；可制成D型钢板　   　块[用含x的代数式表示）．

（2）出售C型钢板每块利润为100元，D型钢板每块利润为120元．若将C、D型钢板全部出售，通过计算说明此时获得的总利润．

（3）在（2）的条件下，若20≤x≤25，请你设计购买方案使此时获得的总利润最大，并求出最大的总利润．

Answer

（1）x+100；﹣2x+300．（2）w＝﹣140x+46000．（3）购买A型钢板20块、B型钢板80块时，可获得的总利润最大，最大的总利润为43200元．

【解析】

（1）设购买A型钢板x块（x为整数），则购买B型钢板（100﹣x）块，由“1块A型钢板可制成2块C型钢板和1块D型钢板；1块B型钢板可制成1块C型钢板和3块D型钢板”，可用含x的代数式表示出可制成C型钢板及D型钢板的数量；（2）设获得的总利润为w元，根据总利润＝100×制成C型钢板的数量+120×制成D型钢板的数量，即可得出w关于x的函数关系式；（3）利用一次函数的性质可得出w值随x值的增大而减小，再结合x的取值范围，即可找出w的最大值．

（1）设购买A型钢板x块（x为整数），则购买B型钢板（100﹣x）块，

根据题意得：可制成C型钢板2x+（100﹣x）＝（x+100）块，

可制成D型钢板x+3（100﹣x）＝（﹣2x+300）块．

故答案为：x+100；﹣2x+300．

（2）设获得的总利润为w元，

根据题意得：w＝100（x+100）+120（﹣2x+300）＝﹣140x+46000．

（3）∵k＝﹣140＜0，

∴w值随x值的增大而减小，

又∵20≤x≤25，

∴当x＝20时，w取最大值，最大值为43200，

∴购买A型钢板20块、B型钢板80块时，可获得的总利润最大，最大的总利润为43200元．