Question

如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC：∠BAD=1：2，BE∥AC，CE∥BD．

（1）求tan∠DBC的值；

（2）求证：四边形OBEC是矩形．

Answer

（1）；（2）证明过程见解析.

【解析】

试题（1）由四边形ABCD是菱形，得到对边平行，且BD为角平分线，利用两直线平行得到一对同旁内角互补，根据已知角之比求出相应度数，进而求出∠BDC度数，即可求出tan∠DBC的值；（2）由四边形ABCD是菱形，得到对角线互相垂直，利用两组对边平行的四边形是平行四边形，再利用有一个角为直角的平行四边形是矩形即可得证．

试题解析：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，∠DBC=∠ABC， ∴∠ABC+∠BAD=180°，

∵∠ABC：∠BAD=1：2， ∴∠ABC=60°， ∴∠BDC=∠ABC=30°， 则tan∠DBC=tan30°=；

（2）∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，即∠BOC=90°， ∵BE∥AC，CE∥BD， ∴BE∥OC，CE∥OB，

∴四边形OBEC是平行四边形， 则四边形OBEC是矩形．