Question

阅读下面的材料：

小凯遇到这样一个问题：如图①，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝4，BD＝6，∠AOB＝30°，求四边形ABCD的面积．小凯发现，分别过点A，C作直线BD的垂线，垂足分别为E，F，设AO为m，通过计算△ABD与△BCD的面积和可以使问题得到解决(如图②)．请回答：

(1)△ABD的面积为________(用含m的式子表示)；

(2)求四边形ABCD的面积．

参考小凯思考问题的方法，解决问题：

如图③，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝a，BD＝b，∠AOB＝α(0°＜α＜90°)，则四边形ABCD的面积为________(用含a，b，α的式子表示)．

Answer

（1）m；（2）6；解决问题：ab•sinα.

【解析】

（1）首先得出AE的长，再利用三角形的面积公式求出即可；

（2）根据直角三角形的性质可得AE＝m，再根据三角形的面积公式可得S△ABD＝BD•AE＝m，同理再表示CF＝ (4−m)，然后再表示△BCD的面积，再求两个三角形的面积和可得答案；

（3）方法与（2）类似．

（1）∵AO＝m，∠AOB＝30°，

∴AE＝m，

∴△ABD的面积为×m×6＝m.

故答案为m；

(2)由(1)得S△ABD＝m，

同理，CF＝ (4－m)，

∴S△BCD＝BD·CF＝6－m，

∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝6；

解决问题：分别过点A，C作直线BD的垂线，垂足分别为E，F，设AO为x，

∵∠AOB＝α，

∴AE＝x·sinα，

∴S△ABD＝BD·AE＝b·x·sinα，

同理，CF＝(a－x)·sinα，

∴S△BCD＝BD·CF＝b·(a－x)·sinα，

∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝b·x·sinα＋b·(a－x)·sinα＝ab·sinα，

故答案为ab·sinα.