Question

在平面直角坐标系中，第一个正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（2，0），点D的坐标为（0，4）．延长CB交x轴于点A₁，作第二个正方形A₁B₁C₁C；延长C₁B₁交x轴于点A₂，作第三个正方形A₂B₂C₂C₁，…，按这样的规律进行下去，第2016个正方形的面积为_____．

Answer

20×

【解析】

先求出正方形ABCD的边长和面积，再求出第一个正方形A1B1C1C的面积，得出规律，根据规律即可求出第2016个正方形的面积．

【解析】
∵点A的坐标为（2，0），点D的坐标为（0，4），

∴OA＝2，OD＝4

∵∠AOD＝90°，

∴AB＝AD＝，∠ODA+∠OAD＝90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD＝∠ABC＝90°，S正方形ABCD＝（2）2＝20，

∴∠ABA1＝90°，∠OAD+∠BAA1＝90°，

∴∠ODA＝∠BAA1，

∴△ABA1∽△DOA，

∴＝，即＝

∴BA1＝，

∴CA1＝，

∴正方形A1B1C1C的面积＝（ ）2＝20×（）2…，第n个正方形的面积为20×（）2n﹣2，

∴第2016个正方形的面积20×（）4030．

故答案为：20×（）4030．