Question

如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为BE上的一点，连结CF并延长交AB于点M，MN⊥CM交射线AD于点N．

（1）当F为BE中点时，求证：AM＝CE；

（2）若，求的值．

Answer

（1）证明见解析 （2）3

【解析】

（1）根据矩形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等求出∠BAC＝∠FCO，然后利用“角角边”证明△AOE和△COF全等，再根据全等三角形的即可得证；

（2）连接OB，根据等腰三角形三线合一的性质可得BO⊥EF，再根据矩形的性质可得OA＝OB，根据等边对等角的性质可得∠BAC＝∠ABO，再根据三角形的内角和定理列式求出∠ABO＝30°，即∠BAC＝30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再利用勾股定理列式计算即可求出AB．

【解析】
（1）当F为BE中点时，如图1，

则有BF＝EF．

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝DC，AB∥DC，

∴∠MBF＝∠CEF，∠BMF＝∠ECF．

在△BMF和△ECF中，

∵ ，

∴△BMF≌△ECF，

∴BM＝EC．

∵E为CD的中点，

∴EC＝DC，

∴BM＝EC＝DC＝AB，

∴AM＝BM＝EC；

（2）如图2所示：设MB＝a，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，AB＝DC，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°，AB∥DC，

∴△ECF∽△BMF，

∴EC:BM=EF:BF＝2，

∴EC＝2a，

∴AB＝CD＝2CE＝4a，AM＝AB﹣MB＝3a．

∵AB:BC＝2，

∴BC＝AD＝2a．

∵MN⊥MC，

∴∠CMN＝90°，

∴∠AMN+∠BMC＝90°．

∵∠A＝90°，

∴∠ANM+∠AMN＝90°，

∴∠BMC＝∠ANM，

∴△AMN∽△BCM，

∴AN:BM=AM:BC，

∴AN:a=3a:2a，

∴AN＝a，ND＝AD﹣AN＝2a﹣a＝a，

∴＝ ＝3．