Question

如图，直线OC、BC的函数关系式分别为y＝x和y＝﹣2x+b，且交点C的横坐标为2，动点P（x，0）在线段OB上移动（0＜x＜3）．

（1）求点C的坐标和b；

（2）若点A（0，1），当x为何值时，AP+CP的值最小；

（3）过点P作直线EF⊥x轴，分别交直线OC、BC于点E、F．

①若EF＝3，求点P的坐标．

②设△OBC中位于直线EF左侧部分的面积为s，请写出s与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

Answer

（1）b＝6；（2）（，0）；（3）①P（1，0）；②s＝．

【解析】

（1）将点C的横坐标代入直线y=x中，求出点C坐标，进而将点C坐标代入直线BC解析式中，即可求出b；

（2）先利用对称性确定出点C'的坐标，连接AC'得出点P的位置，利用待定系数法求出直线AC'的解析式即可得出结论；

（3）①先求出直线BC解析式，进而得出点E，F的坐标，进而得出EF，最后用EF=3建立方程求解即可得出结论；

②分两种情况，利用三角形的面积公式和面积的差即可得出结论．

（1）∵点C在直线OC：y＝x上，且点C的横坐标为2

∴点C（2，2），

∵点C在直线BC：y＝﹣2x+b上，

∴﹣2×2+b＝2，

∴b＝6；

（2）如图1，作点C关于x轴的对称点C’，连接AC'交x轴于点P，此时AP+CP＝AP+PC'＝AC'最小，

∵C（2，2），∴C'（2，﹣2），

∵点A（0，1），

∴直线AC'的解析式为y＝﹣x+1，

令y＝0，

∴0＝﹣x+1，

∴x＝，

∴点P的坐标为（，0）；

（3）①由（1）知，b＝6，

∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+6，

∵EF⊥x轴于P，

∴F（x，﹣2x+6），

∵点E在直线OC上，

∴E（x，x），

∴EF＝|﹣2x+6﹣x|＝|3x﹣6|，

∵EF＝3，

∴|3x﹣6|＝3，

∴x＝3（舍）或x＝1，

∴P（1，0）；

②当0＜x≤2时，如图2，

点E（x，x），

∴OP＝x，PE＝x，

∴s＝S△OPE＝OP×PE＝x2，

当2＜x＜3时，如图3，

由（2）知，直线BC的解析式为y＝﹣2x+6，

∴B（3，0），

∵P（x，0），

∴F（x，﹣2x+6），

∴BP＝3﹣x，PF＝﹣2x+6，

∴s＝S△OBC﹣S△BPF＝×3×2﹣（3﹣x）（﹣2x+6）＝﹣（x﹣3）2+3，

即：s＝.