Question

已知：如图，在△ABC中，cos∠ABC=，sin∠ACB=，AC=2，分别以AB，AC为边向△ABC形外作正方形ABGF和正方形ACDE，连接EF，点M是EF的中点，连接AM，则AM的长为_____．

Answer

【解析】

过F作AE的平行线，交AM的延长线于H，构造全等三角形，得出AE=FH=AC，AM=MH=AH，再根据△AFH≌△BAC（SAS），即可得到AM=BC，最后过A作AP⊥BC于P，求得BC的值，即可得到AM的长．

如图，过F作AE的平行线，交AM的延长线于H，则∠HFM=∠AEM，∠H=∠EAM，

∵点M是EF的中点，

∴FM=EM，

∴△FHM≌△EAM，

∴AE=FH=AC，AM=MH= AH，

∵四边形ABCF是正方形，

∴AF=BA，

∵∠AFH+∠FAE=180°，∠CAB+∠HFA=180°，

∴∠AFH=∠BAC，

在△AFH和△BAC中，

，

∴△AFH≌△BAC（SAS），

∴AH=BC=2AM，

即AM= BC，

如图，过A作AP⊥BC于P，

∵cos∠ABC= ，sin∠ACB= ，AC=2，

∴AP=AC×sin∠ACB=2× = ，CP= AC=1，∠BAP=45°=∠ABP，

∴BP=AP= ，

∴BC= +1，

∴AM= BC= ，

故答案是： ．