Question

如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段BC上，∠EDB＝∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F.试探究线段BE与DF的数量关系，并证明你的结论．

Answer

BE＝DF

【解析】试题BE与DH的延长线交于G点，由DH∥AC得到∠BDH=45°，则△HBD为等腰直角三角形，于是HB=HD，由∠EBF=22.5°得到DE平分∠BDG，
根据等腰三角形性质得BE=GE，即BE=BG，然后根据“AAS”证明△BGH≌△DFH，则BG=DF，所以BE=FD．

试题解析：

BE=FD．理由：
BE与DH的延长线交于G点，如图所示：

∵DH∥AC，
∴∠BDH=∠C=45°，
∴△HBD为等腰直角三角形
∴HB=HD，
而∠EBF=22.5°，
∵∠EDB=∠C=22.5°，
∴DE平分∠BDG，
而DE⊥BG，
∴BE=GE，即BE=BG，
∵∠DFH+∠FDH=∠G+∠FDH=90°，
∴∠DFH=∠G，
∵∠GBH=90°-∠G，∠FDH=90°-∠G，
∴∠GBH=∠FDH
在△BGH和△DFH中，

∴△BGH≌△DFH（AAS），
∴BG=DF，
∴BE= FD．