Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A(a－1，a＋b)，B(a，0)，且|a＋b－3|＋(a－2b)²＝0，C为x轴上点B右侧的动点，以AC为腰作等腰三角形ACD，使AD＝AC，∠CAD＝∠OAB，直线DB交y轴于点P.

(1)求证：AO＝AB；

(2)求证：△AOC≌△ABD；

(3)当点C运动时，点P在y轴上的位置是否发生改变，为什么？

Answer

（1）证明见解析（2）证明见解析（3）点P在y轴上的位置不发生改变

【解析】试题（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，作AE⊥OB于点E，由SAS定理得出△AEO≌△AEB，根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）先根据∠CAD=∠OAB，得出∠OAC=∠BAD，再由SAS定理即可得出△AEO≌△AEB；
（3）设∠AOB=∠ABO=α，由全等三角形的性质可得出∠ABD=∠AOB=α，故∠OBP=180°-∠ABO-∠ABD=180°-2α为定值，再由OB=2，∠POB=90°可知OP的长度不变，故可得出结论．

试题解析：

(1)证明：∵|a＋b－3|＋(a－2b)2＝0，

∴

解得

∴A(1，3)，B(2，0)．

作AE⊥OB于点E，

∵A(1，3)，B(2，0)，

∴OE＝1，BE＝2－1＝1，

在△AEO与△AEB中，

∵

∴△AEO≌△AEB，

∴OA＝AB.

(2)证明：∵∠CAD＝∠OAB，

∴∠CAD＋∠BAC＝∠OAB＋∠BAC，

即∠OAC＝∠BAD.在△AOC与△ABD中，

∵

∴△AOC≌△ABD.

(3)点P在y轴上的位置不发生改变．理由：

设∠AOB＝α.∵OA＝AB，

∴∠AOB＝∠ABO＝α.

由(2)知，△AOC≌△ABD，

∴∠ABD＝∠AOB＝α.

∵OB＝2，∠OBP＝180°－∠ABO－∠ABD＝180°－2α为定值，∠POB＝90°，

易知△POB形状、大小确定，

∴OP长度不变，

∴点P在y轴上的位置不发生改变．