Question

如图，和是两个全等的三角形，，.现将和按如图所示的方式叠放在一起，保持不动，运动，且满足：点E在边BC上运动(不与点B，C重合)，且边DE始终经过点A，EF与AC交于点M .

（1）求证：∠BAE=∠MEC；

（2）当E在BC中点时，请求出ME：MF的值；

（3）在的运动过程中，能否构成等腰三角形？若能，请直接写出所有符合条件的BE的长；若不能，则请说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】

（1）已知△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质可得∠ABC=∠DEF，又因∠AEC=∠B+∠BAE，∠AEC=∠AEM+∠MEC，即可得∠B+∠BAE=∠AEM+∠MEC，所以∠BAE=∠MEC；（2）当E为BC中点时, AB=AC，根据等腰三角形三线合一的性质可得AE⊥BC，∠EAM=60°，再由∠DEM=30°即可证得AC⊥EF； 在Rt△ABE中，∠B=30°，，求得BE=，即可求得BC=3；在Rt△CEM中，∠C=30°，EC=E，求得EM=，根据全等三角形的性质可得BC=EF=3，所以FM= EF－EM=，即可得EM：FM=1：3 ；（3）分AM=AE、EA=EM、三种情况求解即可.

（1）证明：∵△ABC≌△DEF

∴∠ABC=∠DEF

∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠AEC=∠AEM+∠MEC；

∴∠B+∠BAE=∠AEM+∠MEC，

即∠BAE=∠MEC ；

（2）当E为BC中点时,

∵AB=AC，

∴AE⊥BC，BE=EC= ，∠EAM=60°，

又∵∠DEM=30°，

∴AC⊥EF；

∵，，

∴∠B=∠C=30°，

在Rt△ABE中，∠B=30°，，

∴BE=，

∴BC=3；

在Rt△CEM中，∠C=30°，EC=，

∴EM=，

∵△ABC≌△DEF，

∴BC=EF=3，

∴FM= EF－EM=，

∴EM：FM=1：3；

（3）当或2时，是等腰三角形.

①当时，如图，

，

此时点E与点B重合，与题意矛盾(舍去 ) ；

②当时，如图，

由（1）知，

，

，，

，

，

,

③当时，如图，

则，

，

取BE中点I，连结AI，

则，，

是等边三角形，

设，在中，

由勾股定理，得，

即，解得

.

综上所述，当或2时，是等腰三角形.