Question

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上，∠ADC＝45°，BD＝2，tanB＝.

(1)求AC和AB的长；

(2)求sin∠BAD的值．

Answer

（1）AD=，AB=5；（2）sin∠BAD=．

【解析】

（1）在Rt△ABC中，由tanB＝，可设AC＝3x、BC＝4x，然后由∠ADC＝45°，可知AC=CD，根据BC-BD=AC即可求出x的值，再由勾股定理可求出AB的值；

（2）作DE⊥AB于点E，由tanB＝＝可设DE＝3a，则BE＝4a，在Rt△BDE中，根据勾股定理列方程求出a的值，再在Rt△ACD中，根据勾股定理列方程求出AD的值，然后根据正弦函数的定义求解即可.

【解析】
（1）如图，在Rt△ABC中，

∵tanB＝＝，

∴设AC＝3x、BC＝4x，

∵BD＝2，

∴DC＝BC﹣BD＝4x﹣2，

∵∠ADC＝45°，

∴AC＝DC，即4x﹣2＝3x，

解得：x＝2，

则AC＝6、BC＝8，

∴AB＝＝10；

（2）作DE⊥AB于点E，

由tanB＝＝可设DE＝3a，则BE＝4a，

∵DE2+BE2＝BD2，且BD＝2，

∴（3a）2+（4a）2＝22，解得：a＝（负值舍去），

∴DE＝3a＝，

∵AD＝＝6，

∴sin∠BAD＝＝．