Question

如图，AM为⊙O的切线，A为切点，过⊙O上一点B作BD⊥AM于点D，BD交⊙O于C，OC平分∠AOB．

（1）求∠AOB的度数；

（2）若线段CD的长为2cm，求的长度．

Answer

（1）120°；（2）.

【解析】

（1）由AM为圆O的切线，利用切线的性质得到OA与AM垂直，再由BD与AM垂直，得到OA与BD平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由OC为角平分线得到一对角相等，以及OB=OC，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到∠BOC=∠OBC=∠OCB=60°，即可得出答案；
（2）过点O作OE⊥BD，垂足为E，由题意可证四边形ADEO是矩形，可得OA=DE，即可求CD=CE=2cm，可得OA=4cm，根据弧长公式可求弧AB的长度．

【解析】
（1）∵AM为圆O的切线，

∴OA⊥AM，

∵BD⊥AM，

∴∠OAD＝∠BDM＝90°，

∴OA∥BD，

∴∠AOC＝∠OCB，

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB，

∵OC平分∠AOB，

∴∠AOC＝∠BOC，

∴∠BOC＝∠OCB＝∠OBC＝60°，

∴∠AOB＝120°；

（2）如图：过点O作OE⊥BD，垂足为E

∵∠BOC＝∠OCB＝∠OBC＝60°，

∴OB＝OC＝BC

∵OE⊥BD，

∴BE＝CE＝BC＝OA

∵OE⊥BD，且OA⊥AD，BD⊥AD

∴四边形ADEO是矩形

∴OA＝DE

∴CD+CE＝OA＝2CE，且CD＝2cm

∴CE＝2cm

∴OA＝4cm

∴弧AB的长度＝ ＝π