Question

如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E为BC的中点，连接DE．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）求证：4DE²＝CD•AC．

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）如图，作辅助线；根据题意结合图形，证明∠ODE＝90°，即可解决问题；

（2）根据圆周角定理得到∠ADB＝∠BDC＝90°，根据直角三角形的性质得到BC＝2DE，根据相似三角形的性质即可得到结论．

（1）证明：连接OD、BD，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝∠CDB＝90°；

又∵点E为BC的中点，

∴BE＝DE，

∴∠BDE＝∠EBD；

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA；

又∵∠OAD+∠OBD＝90°，∠EBD+∠OBD＝90°，

∴∠OAD＝∠EBD，即∠ODA＝∠BDE；

∴∠ODE＝∠BDE+∠ODB＝∠ODA+∠ODB＝90°，

又∵点D在⊙O上，

∴DE是圆⊙O的切线；

（2）∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝∠BDC＝90°，

∵点E为BC的中点，

∴BC＝2DE，

∵∠ABC＝90°，

∴∠ABC＝∠BDC，

∵∠C＝∠C，

∴△ABC∽△BDC，

∴ ，

∴BC2＝CD•AC，

∴4DE2＝CD•AC．