Question

如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A出发，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．

（1）当t＝2时，线段PQ的中点坐标为　   　．

（2）当△CBQ与△PAQ相似时，求t的值；

（3）连接OB，若以PQ为直径作⊙M，则在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得⊙M与OB相切，若存在，求出时间t；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）（，2）；（2）t的值为或；（3）在运动过程中，存在某一时刻t，使得⊙M与OB相切，此时t的值为 ．

【解析】

（1）根据点P，Q的运动速度找出当t＝2时，点P，Q的坐标，再利用中点坐标公式即可求出此时线段PQ的中点坐标；

（2）根据点P，Q的运动速度找出运动时间为t秒时，PA，QA，QB，CB的值，由∠B＝∠A＝90°，可得出当时，△CBQ与△PAQ相似，代入各线段的值即可求出t值；

（3）找出当运动时间为t（0≤t≤3）秒时点M的坐标，进而可得出点M在直线y＝2x﹣3上，设直线y＝2x﹣3与x轴交于点E，与线段AB交于点F，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点F的坐标，由矩形的性质结合点A，C的坐标可得出点B的坐标，进而可得出直线OB的解析式，结合直线EF的解析式可得出EF∥OB，过点A作AD⊥OB于点D，AD交直线EF于点M，则点M为线段AD的中点，此时⊙M与OB相切．由直线OB的解析式、AD⊥OB结合点A的坐标可得出直线AD的解析式，联立直线AD，EF的解析式成方程组，通过解方程组可求出M的坐标，由点M的纵坐标可得出t的值，此题得解．

【解析】
（1）当t＝2时，点P的坐标为（2，0），点Q的坐标为（3，4），

∴线段PQ的中点坐标为（），即（，2）．

故答案为：（，2）．

（2）当运动时间为t（0≤t≤3）秒时，点P的坐标为（t，0），点Q的坐标为（3，2t），

∴PA＝3﹣t，QA＝2t，QB＝6﹣2t，CB＝3．

∵∠B＝∠A＝90°，

∴当时，△CBQ与△PAQ相似．

当时，，

解得：t1＝，t2＝（不合题意，舍去）；

当时，，

解得：t＝．

综上所述：t的值为或．

（3）当运动时间为t（0≤t≤3）秒时，点P的坐标为（t，0），点Q的坐标为（3，2t），

∴点M的坐标为（，t）．

∵t＝×2﹣3，

∴点M在直线y＝2x﹣3上．

设直线y＝2x﹣3与x轴交于点E，与线段AB交于点F，则点F的坐标为（3，3），

∴点F为线段AB的中点．

∵四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），

∴点B的坐标为（3，6），

∴直线OB的解析式为y＝2x，

∴直线OB∥直线EF．

过点A作AD⊥OB于点D，AD交直线EF于点M，如图所示．

∵直线OB∥直线EF，

∴MF为△ABD的中位线，

∴点M为线段AD的中点，

∴此时⊙M与OB相切．

∵AD⊥OB，点A的坐标为（3，0），

∴直线AD的解析式为y＝﹣（x﹣3），即y＝﹣x+．

联立直线AD，EF的解析式成方程组，得：

，解得： ，

∴点M的坐标为（，），

∴t＝，

∴在运动过程中，存在某一时刻t，使得⊙M与OB相切，此时t的值为．