Question

如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且CD=2BD,AE=2CE，BE、AD相交于点F，连接DE，则下列结论：

①∠AFE=60°；②DE⊥AC；③CE²=DF•DA；④AF•BE=AE•AC，正确的结论有（　　）

A. ①②③    B. ①②④    C. ①③④    D. ①②③④

Answer

D

【解析】

本题是开放题，对结论进行一一论证，从而得到答案．①利用△ABD≌△BCE，再用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，即可证∠AFE=60°；②从CD上截取CM=CE，连接EM，证△CEM是等边三角形，可证明DE⊥AC；③△BDF∽△ADB，由相似比则可得到CE2=DF•DA；④只要证明了△AFE∽△BAE，即可推断出AF•BE=AE•AC．

∵△ABC是等边三角形

∴AB=BC=AC,∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°

∵BD= BC,CE= AC

∴BD=CE.

∴△ABD≌△BCE

∴∠BAD=∠CBE，

∵∠ABE+∠EBD=60°

∴∠ABE+∠CBE=60°

∵∠AFE是△ABF的外角

∴∠AFE=60°

∴①是对的；

如图，从CD上截取CM=CE，连接EM，则△CEM是等边三角形

∴EM=CM=EC

∵EC= CD

∴EM=CM=DM

∴∠CED=90°

∴DE⊥AC，

∴②是对的；

由前面的推断知△BDF∽△ADB

∴BD:AD=DF:DB

∴BD2=DF⋅DA

∴CE2=DF⋅DA

∴③是对的；

在△AFE和△BAE中,∠BAE=∠AFE=60°，∠AEB是公共角

∴△AFE∽△BAE

∴AF⋅BE=AE⋅AC

∴④是对的；

故答案为：D.