Question

如图（1），OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4，在OC边上取一点D，将将纸片沿AD翻转，使点O落在BC边上的点E处．

（1）请直接写出D、E两点的坐标；

（2）如图（2），线段AE上有一动点P（不与A，E重合），自点A沿AE方向做匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，过点P作ED的平行线交AD于点M，过点M作AE平行线交DE于点N．求四边形PMNE的面积S与时间t之间的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，当t为何值时，以A，M，E为顶点的三角形是等腰三角形？

Answer

（1）（0，）（2）S矩形PMNE= -t2+t（3）t=或t=2时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形

【解析】

（1）先根据勾股定理求出BE的长，进而可得出CE的长，求出E点坐标，再用勾股定理计算出OD即可；
（2）先判断出△APM∽△AED，表示出PM，再求出确定出极值；
（3）分两种情况（Ⅰ）若以AE为等腰三角形的底，则ME=MA，利用中位线求出M点坐标，（Ⅱ）若以AE为等腰三角形的腰，则AM=AE=5，利用勾股定理和三角形相似求出即可．

（1）依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，

∴在Rt△ABE中，AE=AO=5，AB=4．

BE= ．

∴CE=2．

∴E点坐标为（2，4）．

在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，

又∵DE=OD．

∴（4﹣OD）2+22=OD2．

解得：OD= ．

∴D点坐标为（0，）．

（2）∵PM∥ED，

∴△APM∽△AED．

∴，

∵AP=t，ED= ，AE=5，

PM= ×=，

∵PE=5﹣t．

∵四边形PMNE为矩形．

∴S矩形PMNE=PM×PE=×（5﹣t）=-；

（3）（Ⅰ）若以AE为等腰三角形的底，则ME=MA（如图1）

在Rt△AED中，ME=MA，

∵PM⊥AE，

∴P为AE的中点，

∴t=AP=AE=．

又∵PM∥ED，

∴M为AD的中点．

过点M作MF⊥OA，垂足为F，则MF是△OAD的中位线，

∴MF=OD=，OF=OA=，

∴当t=时，（0＜＜5），△AME为等腰三角形．

（Ⅱ）若以AE为等腰三角形的腰，则AM=AE=5（如图1）

在Rt△AOD中，AD=．

过点M作MF⊥OA，垂足为F．

∵PM∥ED，

∴△APM∽△AED．

∴

∴t=AP=，

∴PM=t=．

∴t=2时，（0＜2＜5）

综合（Ⅰ）（Ⅱ）可知，t=或t=2时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，