Question

某小区业主委员会决定把一块长50m，宽30m的矩形空地建成健身广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的矩形），空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于14m，不大于26m，设绿化区较长边为xm，活动区的面积为ym²

（1）直接写出：①用x的式子表示出口的宽度为　   　；

②y与x的函数关系式及x的取值范围　   　；

（2）求活动区的面积y的最大面积；

（3）预计活动区造价为50元/m²，绿化区造价为40元/m²，如果业主委员会投资不得超过72000元来参与建造，当x为整数时，共有几种建造方案？

Answer

（1）①50﹣2x，②y＝﹣4x2+40x+1500（12≤x≤18）；（2）1404m2；（3）共有4种建造方案．

【解析】

（1）①矩形的长减去两个绿化区较长边即可求解.

②y=大矩形面积-4个绿化区；由题意得得出x的范围.

（2）将y＝﹣4x2+40x+1500整理为顶点式﹣4（x﹣5）2+1600，利用抛物线性质即可求解.

（3）设费用为w，由题意得w＝﹣40（x﹣5）2+76000，利用抛物线性质和x的取值范围结合即可求解.

【解析】
（1）①出口的宽度为：50﹣2x，

②根据题意得，y＝50×30﹣4x（x﹣10），

即y与x的函数关系式及x的取值范围为：y＝﹣4x2+40x+1500（12≤x≤18）；

故答案为：50﹣2x，y＝﹣4x2+40x+1500（12≤x≤18）；

（2）y＝﹣4x2+40x+1500＝﹣4（x﹣5）2+1600，

∵a＝﹣4＜0，抛物线的开口向下，对称轴为x＝5，当12≤x≤18时，y随x的增大而减小，

∴当x＝12时，y最大＝1404，

答：活动区的面积y的最大面积为1404m2；

（3）设费用为w，

由题意得，w＝50（﹣4x2+40x+1500）+40×4x（x﹣10）＝﹣40（x﹣5）2+76000，

∴当w＝72000时，解得：x1＝﹣5，x2＝15，

∵a＝﹣40＜0，

∴当x＝﹣5或x＝15时，w＝72000，

∵12≤x≤18，

∴15≤x≤18，且x为整数，

∴共有4种建造方案．