Question

如图，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x²+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为 C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）直线AB上方抛物线上的点D，使得∠DBA＝2∠BAC，求D点的坐标；

（3）M是平面内一点，将△BOC绕点M逆时针旋转90°后，得到△B₁O₁C₁，若△B₁O₁C₁的两个顶点恰好落在抛物线上，请求点B₁的坐标．

Answer

（1）y＝﹣x2﹣x+2；（2）D（﹣2，3）;（3）B1的坐标为（﹣，）或（﹣3，2）．

【解析】

当x＝0时，当y＝0时求出A，B点在代入y＝﹣x2+bx+c，求出b，c，即可求解.

取点B关于x轴的对称点B′（0，﹣2），连接AB′，过点B作BD∥AB′交抛物线于点D，因为B、B′关于x轴对称，所以AB＝AB′，∠BAB′＝2∠BAC，设AB′：y＝kx﹣2，代入A点求出k值，则，再由直线BD和抛物线交于点D列方程组求出，再根据象限即可求解.

因为△BOC绕点M逆时针旋转90°，所以∥x轴，∥y轴，分类讨论当B1、O1在抛物线上时和当B1、C1在抛物线上时两种情况.

【解析】
（1）y＝，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝﹣4，

∴A（﹣4，0），B（0，2），

把A、B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c，得，

解得，

∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣x+2；

（2）取点B关于x轴的对称点B′（0，﹣2），连接AB′，过点B作BD∥AB′交抛物线于点D，

∵B、B′关于x轴对称，

∴AB＝AB′，∠BAB′＝2∠BAC，

设AB′：y＝kx﹣2，

代入A（﹣4，0）得﹣4k﹣2＝0，解得k＝﹣，

则BD：y＝﹣x+2，

解得，，

∴D（﹣2，3）．

（3）∵△BOC绕点M逆时针旋转90°，

∴B1O1∥x轴，O1C1∥y轴，

当B1、O1在抛物线上时，设B1的横坐标为x，则O1的横坐标为x+2，

∴﹣x2﹣x+2＝﹣（x+2）2﹣（x+2）+2，

解得x＝﹣，

则B1（﹣，）；

当B1、C1在抛物线上时，设B1的横坐标为x，则C1的横坐标为x+2，

C1的纵坐标比B1的纵坐标大1，

∴﹣x2﹣x+2＝﹣（x+2）2﹣（x+2）+2﹣1，解得x＝﹣3，

则B1（﹣3，2），

∴B1的坐标为（﹣，）或（﹣3，2）．