Question

把一张边长为40 cm的正方形硬纸板，进行适当的裁剪，折成一个长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)．

(1)如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子．

①要使折成的长方体盒子的底面积为484 cm²，那么剪掉的正方形的边长为多少？

②折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．

(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上)，将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子．若折成的一个长方体盒子的表面积为550 cm²，求此时长方体盒子的长、宽、高(只需求出符合要求的一种情况)．

Answer

(1)剪掉的正方形的边长为9 cm；

(2)当剪掉的正方形的边长为10 cm时，长方体盒子的侧面积最大为800 cm2.

(3)此时长方体盒子的长为15 cm，宽为10 cm，高为5 cm.

【解析】

试题（1）①根据题意列出一元二次方程，求解即可；

②设折成的长方形盒子的侧面积为S，列出S关于x的二次函数，求出最大值即可；

（2）按图示进行剪裁，根据等量关系，列出一元二次方程，求解即可.

试题解析：（1）①设剪掉的正方形的边长为xcm．
则（40-2x）2=484，
即40-2x=±22，
解得x1=31（不合题意，舍去），x2=9，
∴剪掉的正方形的边长为9cm．
②侧面积有最大值．
设剪掉的小正方形的边长为acm，盒子的侧面积为ycm2，
则y与a的函数关系为：y=4（40-2a）a，
即y=-8a2+160a，
即y=-8（a-10）2+800，
∴a=10时，y最大=800．
即当剪掉的正方形的边长为10cm时，长方形盒子的侧面积最大为800cm2．

（2）在如图的一种剪裁图中，设剪掉的长方形盒子的边长为xcm．

2（40-2x）（20-x）+2x（20-x）+2x（40-2x）=550，
解得：x1=-35（不合题意，舍去），x2=15．
∴剪掉的长方形盒子的边长为15cm．
40-2×15=10（cm），
20-15=5（cm），
此时长方体盒子的长为15cm，宽为10cm，高为5cm．