Question

如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(异于点A，B)，AD⊥CD.

(1)若BC＝3，AB＝5，求AC的长；

(2)若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．

Answer

(1) AC=4；(2)详见解析.

【解析】

（1）首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，然后利用勾股定理求得AC的长即可；
（2）连接OC，证OC⊥CD即可；利用角平分线的性质和等边对等角，可证得∠OCA=∠CAD，即可得到OC∥AD，由于AD⊥CD，那么OC⊥CD，由此得证．

【解析】
（1）∵AB是⊙O直径，C在⊙O上，

∴∠ACB＝90°，

又∵BC＝3，AB＝5，

∴由勾股定理得AC＝4；

（2）证明：连接OC

∵AC是∠DAB的角平分线，

∴∠DAC＝∠BAC，

又∵AD⊥DC，

∴∠ADC＝∠ACB＝90°，

∴△ADC∽△ACB，

∴∠DCA＝∠CBA，

又∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∵∠OAC+∠OBC＝90°，

∴∠OCA+∠ACD＝∠OCD＝90°，

∴DC是⊙O的切线．