Question

如图，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB，AC于M，N，连接MN．求△AMN的周长．

 

Answer

△AMN的周长为2．

【解析】

根据已知条件得△CDE≌△BDM，再利用DE=DM，证明△DMN≌△DEN，得到对应边相等即可解题.

如图，延长NC到E，使CE=BM，连接DE，

∵△ABC为等边三角形，△BCD为等腰三角形，且∠BDC=120°，

∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°，

∠DCE=180°﹣∠ACD=180°﹣∠ABD=90°，

又∵BM=CE，BD=CD，

∴△CDE≌△BDM，

∴∠CDE=∠BDM，DE=DM，

∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC﹣∠MDN=120°﹣60°=60°，

∵在△DMN和△DEN中，

，

∴△DMN≌△DEN，

∴MN=NE=CE+CN=BM+CN，

∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=1+1=2，故△AMN的周长为2．