Question

如图，等边△ABC中， AO是∠BAC的角平分线， D为 AO上一点，以 CD为一边且在 CD下方作等边△CDE，连接BE．

（1）求证：△ACD≌△BCE．   

（2）延长BE至Q， P为BQ上一点，连接 CP、CQ使 CP=CQ=5，若 BC=6，求PQ的长．   

Answer

（1）详见解析；（2）PQ=8.

【解析】

（1）根据等边三角形得∠ACD=∠BCE,即可证明△ACD≌△BCE（SAS）,

（2）过C作CH⊥BQ ，垂足为 H，由角平分线得到∠CAD= ∠BAC=30°,通过（1）得∠CAD=∠CBH=30°,根据30°角所对直角边等于斜边一半求出CH=3,勾股定理得HQ=4,三线合一性质即可求出PQ=8.

（1）证明：∵△ABC, △CDE 均为等边三角形，

∴∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACB-∠DCO=∠DCE-∠DCO,即∠ACD=∠BCE ，

在△ACD 和△BCE 中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS）

（2）【解析】
∵等边△ABC中，AO平分∠BAC，∴∠CAD= ∠BAC=30°.

如下图，过C点作CH⊥BQ ，垂足为 H，

由（1）知△ACD≌△BCE ,

则∠CAD=∠CBH=30°,

∴CH=BC=3 ,

∴在Rt△CHQ 中，HQ=4(勾股定理) ，

又∵CP=CQ，CH⊥PQ，

∴PH=HQ（三线合一）

∴ PQ=8.