Question

如图，已知在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，D为AB中点，设点P在线段BC上以3cm/秒的速度由B点向C点运动，点Q在线段CA上由C点向A点运动.

（1）若Q点运动的速度与P点相同，且点P，Q同时出发，经过1秒钟后△BPD与△CQP是否全等，并说明理由；

（2）若点P，Q同时出发，但运动的速度不相同，当Q点的运动速度为多少时，能在运动过程中有△BPD与△CQP全等？   

（3）若点Q以（2）中的速度从点C出发，点P以原来的速度从点B同时出发，都是逆时针沿△ABC的三边上运动，经过多少时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？   

 

Answer

（1）详见解析；（2）cm/秒；（3）秒在AB边相遇.

【解析】

（1）求出BD,CP,根据全等三角形的判定即可,

（2）由全等推出时间t,在利用CQ=BD求出Q的速度即可,

（3）求出Q的运动路程,根据△ABC的三边长度即可确定Q的位置.

（1）【解析】
∵t=1秒，∴BP=CQ=3×1=3cm，

∵AB=10cm，点D为AB的中点，∴BD=5cm．

又∵PC=BC﹣BP，BC=8cm，∴PC=8﹣3=5cm，∴PC=BD．

又∵AB=AC，∴∠B=∠C，

在△BPD和△CQP中，

 ∴△BPD≌△CQP（SAS）．

（2）【解析】
∵vP≠vQ，

∴BP≠CQ，

又∵△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，则BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，

∴点P，点Q运动的时间t= 秒，∴vQ= cm/秒；

（3）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，

由题意，得 x=3x+2×10，解得x=．

∴点P共运动了×3=80cm．∴80=56+24=2×28+24，∴点P、点Q在AB边上相遇，

∴经过秒点P与点Q第一次在边AB上相遇．