Question

如图：数轴上有A、B两点，分别对应的数为a，b，已知（a+1）²与|b﹣3|互为相反数．点P为数轴上一动点，对应为x．



 

（1）a=　　；b=　 　

（2）若点P到点A和点B的距离相等，则点P对应的数是　 　

（3）数轴上是否存在点P，使点P到点A和点B的距离之和为5？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；

（4）|x﹣a|+|x﹣b|的最小值=　 　

（5）当点P以每分钟1个单位长度的速度从O点向左运动，点A以每分钟5个单位长度向左运动，问几分钟时点P到点A、点B的距离相等？

Answer

(1) ﹣1，3；(2)1;(3) x1=﹣1.5，x2=3.5；(4)4;(5) 分钟时点P到点A、点B的距离相等

【解析】

（1）根据（a+1）2与|b-3|互为相反数，可以求得a、b的值；

（2）根据题意可以得到关于x的方程，从而可以求得x的值；

（3）根据题意可以列出关于x的方程，本题得以解决；

（4）根据题意，利用分类讨论的思想可以解答本题；

（5）根据题意可以列出相应的方程，本题得以解决.

解:（1）∵（a+1）2与|b﹣3|互为相反数，

∴a+1=0，b﹣3=0，

解得，a=﹣1，b=3，

故答案为：﹣1，3；

（2）由题意可得，

|x﹣（﹣1）|=|x﹣3|，

解得，x=1，

故答案为：1；

（3）数轴上存在点P，使点P到点A和点B的距离之和为5，

由题意可得，

|x﹣（﹣1）|+|x﹣3|=5，

解得，x1=﹣1.5，x2=3.5；

（4）∵a=﹣1，b=3，

∴|x﹣a|+|x﹣b|=|x﹣（﹣1）|+|x﹣3|=|x+1|+|x﹣3|，

当x＞3时，|x+1|+|x﹣3|=x+1+x﹣3=2x﹣2＞4，

当﹣1≤x≤3时，|x+1|+|x﹣3|=x+1+3﹣x=4，

当x＜﹣1时，|x+1|+|x﹣3|=﹣x﹣1+3﹣x=﹣2x+2＞4，

∴|x+1|+|x﹣3|的最小值是4，

故答案为：4；

（5）设t分钟时点P到点A、点B的距离相等，

﹣t﹣（﹣1﹣5t）=t+3，

解得，t=，

答：分钟时点P到点A、点B的距离相等．