Question

△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AB＝8cm，动点P、Q以2cm/s的速度分别从点A、B同时出发，点P沿A到B向终点B运动，点Q沿B到A向终点A运动，过点P作PD⊥AC于点D，以PD为边向右侧作正方形PDEF，过点Q作QG⊥AB，交折线BC﹣CA于点G与点C不重合，以QG为边作等腰直角△QGH，且点G为直角顶点，点C、H始终在QG的同侧，设正方形PDEF与△QGH重叠部分图形的面积为S（cm²），点P运动的时间为t（s）（0＜t＜4）．

（1）当点F在边QH上时，求t的值．

（2）点正方形PDEF与△QGH重叠部分图形是四边形时，求S与t之间的函数关系式；

（3）当FH所在的直线平行或垂直AB时，直接写出t的值．

Answer

（1）t＝s;（2）见解析;（3）t＝s或s或s．

【解析】

（1）如图1中，当点F在边QH上时，易知AP＝PQ＝BQ，求出AB的长即可解决问题；

（2）分两种情形①如图2中，当点F在GQ上时，易知AP＝BQ＝2t，PD＝PF＝t．PQ＝QF＝t，列出方程即可解决问题；②如图3中，重叠部分是四边形GHRT时；

（3）分三种种情形求解①如图5中，当FH⊥AB时，延长HF交AB于T，易知AP＝BQ＝GQ＝HG＝TQ＝2t，PT＝t；②如图7中，当FH⊥AB时；分别列出方程即可解决问题．③如图8中，当HF∥AB时；

【解析】
（1）如图1中，当点F在边QH上时，易知AP＝PQ＝BQ，

∵Rt△ABC中，AB＝8，

∴ts时，点F在边QH上．

（2）如图2中，当点F在GQ上时，易知AP=BQ=2t，PD=PF=t．PQ=PF=t，

∴2t+t+2t＝8，

∴t，

由（1）可知，当时，正方形PDEF与△QGH重叠部分图形是四边形

此时

如图3中，当H在EF上时，则有

解得t，

如图4中，当G与D重合时，易知4t﹣8＝t，解得t．

当 时，

（3）①如图5中，当FH⊥AB时，延长HF交AB于T，易知AP＝BQ＝GQ＝HG＝TQ＝2t，PT＝t，

∴6t+t＝8，

∴t=．

②如图7中，当HF⊥AB于T时，

∵TB＝8﹣2（8﹣2t）＝8﹣3t，解得t=，

③如图8中，当HF∥AB时，∴t+2t＝8，

∴t=，

综上所述，t=s或s或s时，FH所在的直线平行或垂直于AB．